Mathematik

 Kurzbeschreibung der Mathematik und ihrer Teilbereiche
 Die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie
 Für die Philosophie wichtige Mathematiker
 Philosophie der Mathematik
 Internetlinks


Kurzbeschreibung der Mathematik und ihrer Teilbereiche

Mathematik entstand aus den Tätigkeiten des Zählens, Rechnens und Messens. Sie ist die Wissenschaft von den Zahlen und den räumlichen Figuren. Diese Definition ist aber nicht umfassend genug, besonders wenn es um höhere Mathematik geht. Mathematik kann auch definiert werden als die Wissenschaft, die Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster hin untersucht. Ob es sich dabei um Strukturen handelt, die in der vom Menschen unabhängig existierenden Welt tatsächlich vorhanden sind, oder ob der Mensch diese Strukturen selbst schafft, ist umstritten. Ebenso die Frage, ob die Mathe-matik eine reine Vernunftwissenschaft ist oder auch die Empirie, bzw. die Erfahrung bei ihr eine Rolle spielt. Mit diesen Themen beschäftigt sich die  Philosophie der Mathe-matik.


Teilgebiete der Mathematik

Die Arithmetik ist theoretisch die Zahlenlehre und praktisch die Rechenkunst. (Z. B. Addition, Division, Multiplikation, Subtraktion.) Die elementare Arithmetik beschäftigt sich mit bestimmten Zahlen und Variablen. Die höhere Arithmetik beschäftigt sich mit Wahr-scheinlichkeitsrechnung und Zahlentheorie.

Die Geometrie beschäftigt sich mit Kurven, Flächen und Figuren in der Ebene (zweidi-mensional) und im Raum (dreidimensional). Gebiete der Geometrie sind u. a.

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit den Lösungsbedingungen von Gleichungen mit Unbekannten. Die höhere Algebra beschäftigt sich mit den strukturellen Verbindungen abstrakter Größen.

Die Mengenlehre beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Mengen und deren Elemen-ten.

Die Analysis beschäftigt sich mit Grenzwerten. Zu ihr gehört die Infinitesimalrechnung, die Rechnung mit unendlich kleinen Elementen. (Differential - und Integralrechnung).

[Die mathematischen Teilbereiche deute ich nur kurz an, da dies hier ein philosophisches und kein mathematisches Lexikon ist.]

Die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie

Anfänge der Mathematik gab es in Mesopotamien, Ägypten und China.

Im  antiken Griechenland nahm die Mathematik einen gewaltigen Aufschwung. Von den Griechen kommt auch das Wort Mathematik, das ursprünglich mal "Kunst des Lernens" bedeutete.  Thales, der "Vater der Philosophie" bewies einige Sätze der  Geometrie. Für die  Pythagoreer war alles Zahl, was sie zu mathematischen Spekulationen veran-laßte, in deren Verlauf sie viele mathematische Gesetze erkannten. Über dem Eingang der von Platon gegründeten  Akademie stand der Satz: "Keiner, der unkundig in Geo-metrie ist, erhalte Einlaß". Besonders  Euklid und  Archimedes, zwei der größten Mathematiker aller Zeiten, kommt das Verdienst zu, die Mathematik zu einer Wissen-schaft gemacht zu haben. Für die antike Philosophie hatte die Mathematik allerdings noch keine große Bedeutung.

Im europäischen christlichen Mittelalter ging viel Wissen der Antike verloren, auch das mathematische. Zu dieser Zeit wurde die Mathematik in der islamischen Welt gepflegt. Dort übernahm man aus Indien das heutige Zahlensystem mit der Null, das die Europäer dann im späten Mittelalter von den Arabern übernahmen. Im späten Hochmittelalter be-zeichnete der Franziskaner  Roger Bacon, der viele wissenschaftliche und technische Erfindungen der Neuzeit voraussah, die Mathematik als Grundlage aller Wissenschaft.

Für viele rationalistische Philosophen zu Beginn der Neuzeit waren mathematische Aus-sagen Musterbeispiele für wahre Aussagen. Mathematik war für sie das Paradebeispiel für Wissenschaft, vielen galt sie als Mutter aller Wissenschaften. Die Mathematisierung der Welt war ein generelles Kennzeichen neuzeitlicher Philosophie.

 Cusanus sagte, Gott habe die Welt unter Zugrundelegung mathematischer Gesetze geschaffen.

Für  Galileo Galilei ist das Buch der Natur in mathematischer Sprache geschrieben.

 Johannes Kepler sagte: "Ubi materia, ibi geometria."

 Thomas Hobbes sagte, die geometrische Methode sei die einzige, die uns sichere Erkenntnis geben könne. Philosophisches Denken sei letztlich eine Art Rechnen.

Für  Rene Descartes war nur das echte Erkenntnis, was der Verstand in klaren mathematischen Begriffen ausdrücken könne.

Für  Pascal war Mathematik der Ideal-Typus von Wissenschaft.

Leibniz war einer der letzten großen Universalwissenschaftler, der u. a. die  Differen-tialrechnung erfand. [Gemessen daran sind seine philosophischen Leistung schlecht. "Ungenügend" wäre eine zu höfliche Formulierung.]

Newton entwickelte zeitgleich mit Leibniz die  Infinitesimalrechnung.

Im Verlaufe der weiteren Auffächerung der Wissenschaften und der fortschreitenden auch akademischen Arbeitsteilung haben die meisten Philosophen und Mathematiker heute nichts mehr miteinander zu tun. Ausnahmen bilden hier die prozentual wenigen Mathe-matiker, die sich mit den philosophischen Grundlagen der Mathematik beschäftigen (siehe  nächstes Kapitel) und die prozentual wenigen Philosophen, die sich mit Logik und Mathematik beschäftigen. Diese gehören fast ausnahmslos zur Richtung der Analytischen Philosophie. (Viele Vertreter dieser philosophischen Ströhmung haben aber auch mit Mathematik nichts zu tun, sondern mehr mit Sprachphilosophie.)


Für die Philosophie wichtige Mathematiker

Einige der hier aufgeführten Personen könnten auch der Logik, dem Positivismus oder der Analytischen Philosophie zugeordnet werden.

Brouwer, Luitzen, Egbertus, Jan (1881 - 1966). Holländischer Mathematiker und Philo-soph. Begründer des  mathematischen Intuitionismus oder Konstruktivismus. In seiner Philosophie sind subjektivistische, solipsistische, pessimistische und  moralisierende Elemente. Die große Rolle, die die Sündhaftigkeit des Menschen im Protestantismus spielt, kommt in seiner Philosophie zum Ausdruck. Zum Teil geht es in Richtung Rousseaus und Klages.
Brouwer im Internet:
Beitrag von Uwe Wiedemann kurz.
Artikel bei wikipedia sehr umfangreich, nichts um mal schnell nachzuschlagen.

Frege, Friedrich Ludwig Gottlob (1848 - 1925). Deutscher Philosoph, Mathematiker und Logiker. Bedeutend für den  Logizismus. Siehe Eintrag im Artikel Logik.

Gödel, Kurt (1906-1978). Österreichisch-Amerikanischer Mathematiker und Logiker. Emigrierte 1938 in die USA. Vorher Mitglied des  Wiener Kreises, war damit Vertreter des  Neopositivismus. Wird als einer der bedeutendsten mathematischen Logiker des 20. Jahrhunderts bezeichnet. Versetzte dem  mathematischen Formalismus oder Konventionalismus einen schweren Schlag, in dem er darauf hinwies, das selbst die elementarsten Regeln der  Arithmetik nicht als widerspruchsfrei beweisbar sind. Internetlink: The Kurt Gödel Society.

Hilpert, David (1862 - 1943). Deutscher Mathematiker. Begründer des  mathematischen Formalismus oder Konventionalismus und der Metamathematik.
Hilpert im Internet:
Artikel von der Uni Göttingen.

Poincare, Jules, Henri (1854 - 1912). Französischer Mathematiker und Philosoph. Ver-treter des Konventionalismus. Die Realität sei uns verborgen. Es gehe darum, in unserer menschlichen Welt zuverlässige Relationen aufzudecken. Damit ist er ein Vertreter der  Kohärenztheorie der Wahrheit.
Poincare im Internet:
Artikel bei wikipedia.

Russell, Bertrand (1872 - 1970). Britischer Mathematiker und Philosoph. Bedeutend für den  Logizismus. Siehe Extraseite.

Tarski, Alfred (1902 - 1983). Polinischer Matrhematiker, Logiker und Wahrheitstheoreti-ker. Beeinflußte mit seinem "semantischen Wahrheitsbegriff" Popper. Biografie bei wikipedia.


Philosophie der Mathematik

Die  Philosophie der Mathematik versucht grundsätzliche Aussage über die Mathema-tik und ihre Stellung im Sein zu machen. [1]


Das ontologische Problem

Die ontologische Fragestellung beschäftigt sich mit den Gegenstände mathematischer Aussagen

Ein Streitpunkt ist die Frage, ob die Gegenstände bzw. Sachverhalte, mit denen sich die Mathematik beschäftigt, von den Menschen selbst geschaffen werden, oder ob sie von den Menschen im Sein vorgefunden werden. Für den Platonismus sind mathematische Terme und  Begriffe unabhängig vom menschlichen Denken existierende platonische  Ideen. Sie seien abstrakte Objekte, die der Mensch erkennen könne. Der Mathema-tiker könne ihre Eigenschaften und ihre Beziehungen untereinander aufdecken und damit das Wissen der Menschen über die von ihm unabhängig exitierende Welt vermehren.

Eine direkte Gegenposition dazu bezieht der Konventionalismus, nachdem Aussagen der Mathematik und der Logik nur aufgrund der konventionellen Festlegung der Bedeutungen ihrer Grundbegriffe wahr seien, nicht weil ihre Aussagen auf irgendwelche unabhängig vom Menschen existierende Tatbestände wie  platonische Ideen etc. hinwiesen. Mathe-matische Axiome und aus ihnen abgeleitete Theoreme seien Wahrheiten aufgrund semantischer Regeln. Vertreter dieser Richtung sind u. a. Ayer, Quine und die Vertreter des  Wiener Kreises. [2]

Ein anderer Streitpunkt ist die Frage, ob die mathematischen Sachverhalte Teil der materiellen oder empirisch wahrgenommenen Welt sind, oder ob es eine von dieser Welt unabhängige Sphäre der mathematischen Sachverhalte gibt. Für den Rationalismus gibt es eine solche Sphäre und wir könnten durch reine erfahrungsunabhängige rationale Tätigkeit Wissen über die Mathematik erlangen. (Der Rationalismus vertritt in diesem Punkt weitgehend die gleichen Grundpositionen wie der  Platonismus, ist aber nicht in allen seine konkreten Ausformungen mit diesem deckungsgleich.) Der Empirismus dage-gen behauptet, daß die mathematischen Sachverhalte Teil der empirisch wahrgenomme-nen Welt seien. Alle Erkenntnis gehe aus Erfahrung hervor, auch die Mathematik. Sie sei keine rein rationale Tätigkeit, sondern beschreibe ganz allgemeine Merkmale der empiri-schen Realität.

Eine Zwischenposition nahm Kant ein. Für ihn ist jede Erkenntnis Ergebnis einerseits von Erfahrung, andererseits von Prinzipien, die a priori in unserem kognitiven Apparat lägen und aller Erfahrung vorausgingen, diese erst ermöglichen würden. Die  Möglichkeit der Mathematik nach Kant beruht darauf, daß die apriorische Raumvorstellung apriorische Sätze der  Geometrie ermögliche, die apriorische Zeitvorstellung apriorische Sätze der  Arithmetik. Alles Rechnen sei letztlich ein Zählen, d. h. ein Aufeinanderfolgen in der Zeit. Mathematische Sätze hätten Gültigkeit für jede Erfahrung, weil sie Erfahrung erst ermöglichten.


Das erkenntnistheoretische Problem

Die erkenntnistheoretische Fragestellung beschäftigt sich mit der Art und Weise, wie wir zu mathematischen Aussagen gelangen. Hier gibt es drei Hauptrichtungen.

Der  Logizismus, Hauptvertreter waren  Russell und  Frege, versuchte, alle mathe-matischen Probleme auf logische zu reduzieren. Es zeigte sich aber, daß für den  deduktiven Aufbau der Mathematik Axiome nötig waren, die von ihrem Wesen her nicht nur logisch waren. Deshalb wurden diese Versuche aufgegeben.

Für den mathematische Formalismus oder Konventionalismus ist Mathematik ein Operie-ren mit Formeln bzw. Zeichensysteme nach vorgegeben Regeln. Über die vom Menschen unabhängige Realität sage die Mathematik nichts aus. Entscheidend sei die Wider-spruchsfreiheit des Gesamtsystems. Diese Theorie ist verwandt mit der  Kohärenz-theorie der Wahrheit. Hauptvertreter des Formalismus war  David Hilbert. Ein Vertreter des Konventionalismus war auch  Poincare. Der Möglichkeit eines widerspruchsfreien Gesamtsystems widersprach  Kurt Gödel.

Der mathematische Konstruktivismus oder Intuitionismus behauptet in Anschluß an Kant, daß der menschliche Geist die Mathematik konstruiere bzw. die mathematischen Einsichten Intuitionen apriorischer synthetischer Prinzipien seien. Hauptvertreter dieser Auffassung war  Brouwer. Der Mathematiker findet nicht, sondern erfindet. (Auch  Wittgenstein behauptete, der Mathematiker sei ein Erfinder, kein Entdecker.) Die Rich-tigkeit mathematischer Axiome beruhe auf unmittelbarer Einsicht. Wenn keine Möglich-keit bestehe, mit Sicherheit einen Satz als wahr oder falsch zu bezeichnen, dürfe dies auch nicht geschehen. Da unter diesen Umständen viele mathematische Axiome hätten aufgegeben werden müssen, konnte sich auch diese Auffassung nicht durchsetzen.


Internetlinks

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Anmerkungen

Anm. 1: Da es auch unter den Philosophen leider viele Dogmatiker gibt, werden aller-dings viele weit von sich weisen, ihre Aussagen seien lediglich "Versuche". Zurück zum Text

Anm. 2: Einstein antwortete auf die Frage, ob 2 x 2 = 4 seien: "Ich bin mir nicht sicher." Das wird vielfach als eine nicht ganz Ernst gemeinte, eher scherzhafte, augenzwinkernde Aussage des Schöpfers der  Relativitätstheorie angesehen. Tatsächlich kommt in dieser Aussage Einsteins der Zweifel darüber zum Ausdruck, ob die Regeln der Mathe-matik im Sein generell Geltung haben, oder nur in der von uns Menschen geschaffenen Welt. Einstein sagte: "Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit bezie-hen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit." Zurück zum Text


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